Középszintű matek érettségi főoldal

Matek érettségi - 2022. tavasz

Másik témakör választásához kattints ide!

1. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 1. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 1. feladat

Témakör: halmazok

1. lépés: rajzoljunk fel 2 db halmazt.

A B

2. lépés: ismételjük át gyorsan a halmaz részeit!

A B A \ B A ∩ B B \ A
  • A U B: az A és a B halmaz összes eleme.
  • AB: azok az elemek, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
  • A \ B: Minden, ami A-ban benne van és B-ben nincs benne.
  • B \ A: Minden, ami B-ben benne van és A-ban nincs benne.

3. lépés: írjuk be az AB elemeit!

A B 2 3

4. lépés: írjuk be az A \ B elemeit! Mivel a 2 és a 3 már szerepel a közös részben, így csak az 5-ös számot kell beírni abba a részbe.

A B 2 3 5

5. lépés: B \ A elemei:

  • Az A U B elemei: {1; 2; 3; 4; 5}
  • Az AB elemei: {2; 3}. Így ezt a két számot nem írjuk be abba a részbe.
  • Az A halmazban benne van az 5-ös, így az nem lehet benne a B-ben.
  • Vagyis a B \ A részbe ezeket írjuk: {1 ; 4}
A B 2 3 5 1 4

Ebből következik, hogy a B halmaz elemei: { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }

Tehát a megoldás:

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 1. feladat megoldás

 

 

2. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: teljes gráf jelentése: olyan gráf, ahol minden él be van rajzolva, és a fokszámok a lehető legnagyobbak. Példák teljes gráfra:

4 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 3, mert 3 lehet a legnagyobb.

3 3 3 3

5 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 4, mert 4 lehet a legnagyobb.

4 4 4 4 4

3. lépés: az élek számát így határozzuk meg teljes gráfban képlettel:

Élek
száma
 = 
pontok száma * (pontok száma - 1)
2
  • Minden pontból húzunk éleket, ezért kell a pontok száma.
  • Egy pontból mindenhová húzhatunk élet, kivéve saját magához, ezért kell 1-et kivonni.
  • Mivel minden csúcsból húzunk vonalat, valamint érkezik is oda, ezért osztani kell 2-vel, mert csak 1-szer kell beleszámolni mindegyiket.

4. lépés: helyettesítsünk be a képletbe úgy, hogy 10 pontú gráfunk van!

  • Pontok száma = 10
  • Behelyettesítünk a képletbe és készen vagyunk:
Élek száma =
10 * (10 - 1)
2
=
10 * 9
2
= 90 : 2 = 45

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 45-öt, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat megoldás

 

 

3. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 3. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 3. feladat

Témakör: elsőfokú egyenletek

1. lépés: a szöveges feladatot átírjuk elsőfokú egyenletbe:

  • Van egy szám: legyen x.
  • Ennek az ellentettje (mínusz 1-szerese): -x.
  • Ha egy szám 10-zel kisebb az ellentettjénél, az máshogy kifejezve ezt jelenti:
  • Egy számhoz ha hozzáadunk 10-et, akkor az ellentettjét kapjuk.
  • Tehát kialakul ez az egyenlet, amit meg is oldunk:
x + 10=-x     / -x
10=-2x     / : (-2)
-5=x

Tehát megkaptuk, hogy x = -5.

Tehát a megoldólapra is beírjuk a mínusz 5-öt, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 3. feladat megoldás

 

 

4. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 4. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 4. feladat

Témakör: másodfokú függvények

1. lépés: ismételjük át gyorsan, hogyan tudunk másodfokú függvényt felrajzolni.

2. lépés: ismételjük át gyorsan, hogyan tudunk másodfokú függvényeket tologatni.

Térjünk vissza a feladathoz!

3. lépés: az eredeti függvényt 2-vel kell eltolni jobbra. Ez ennek a függvénynek fog megfelelni:

f(x) = (x - 2)2

A megoldólapon a helyes válasz: C. Leírjuk a megfelelő helyre, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 4. feladat megoldás

 

 

5. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 5. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 5. feladat

Témakör: trigonometria

1. lépés: ismételjük át gyorsan, mi a szinusz, koszinusz és a tangens!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: rajzoljunk vázlatrajzot.

β = 32° a = ? b = 5 cm

3. lépés: ha ismerjük az egyik befogót és a vele szemközti szög nagyságát, és a másik befogó a kérdés, tangenssel oldjuk meg a feladatot.

Derékszögű háromszögben:

tan =
szöggel szemközti befogó
szög melletti befogó
tan 32° =
5
a

Oldjuk meg az egyenletet!

tan 32°=
5
a
     / tan elvégzése
0,62486935=
5
a
     / *a
0,62486935a=5     / :0,62486935
a=8,00167

Tehát kijött, hogy az "a" oldal hossza kerekítve 8 cm.

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 8 cm-t, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 5. feladat megoldás

 

 

6. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 6. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 6. feladat

Témakör: kombinatorika

1. lépés: ábra alapján értsük meg, mi a feladat.

1. kérdés A B C D
2. kérdés A B C D
3. kérdés A B C D
4. kérdés A B C D
5. kérdés A B C D
  • Mindegyik kérdésre 4 db válaszlehetőség (ebben a példában: A, B, C, D) van.
  • Az 1. kérdésre 4 féle választ lehet adni.
  • A 2. kérdésre 4 féle választ lehet adni.
  • A 3. kérdésre 4 féle választ lehet adni.
  • A 4. kérdésre 4 féle választ lehet adni.
  • Az 5. kérdésre 4 féle választ lehet adni.

2. lépés: a számokat össze kell szorozni egymással, így megkapjuk a végeredményt:
4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 45 = 1024.

Tehát a megoldólapra is beírjuk az 1024-et, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 6. feladat megoldás

 

 

7. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 7. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 7. feladat

Témakör: mértani sorozatok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a mértani sorozatok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: Ismerjük a sorozat második elemét és a hányadost:

  • a2 = 1,5
  • q = 3

3. lépés: Hatodik tag kiszámítása:

  • a2 = 1,5
  • q = 3
  • a6 = ?

  • a2 * q4 = a6
  • 1,5 * 34 = a6
  • 1,5 * 81 = a6
  • 121,5 = a6

Tehát a sorozat hatodik tagja 121,5.

4. lépés: Most jöjjön a sorozat első 10 tagjának az összegének a kiszámítása. Ehhez először az első tagot kell kiszámítani:

  • a2 = 1,5
  • q = 3
  • a1 = ?
  • a1 * q = a2
  • Oldjuk meg ezt az egyenletet: a1 * 3 = 1,5
a1 * 3=1,5     / :3
a1=0,5

Tehát a sorozat első tagja 0,5.

Első 10 tag összegének kiszámítása: ha egy mértani sorozat első valahány tagjának összegére vagyunk kíváncsiak, és q ≠ 1, akkor a képlet:

Sn = a1 *
qn - 1
q - 1

Mivel az első 10 tag összegére vagyunk kíváncsi, így n = 10. Minden "n" helyére beírjuk a 10-et, így kialakul ez:

S10 = a1 *
q10 - 1
q - 1

Ismerjük az első tagot és a q-t is, így mindent behelyettesítünk:

S10 = 0,5 *
310 - 1
3 - 1

Kiszámoljuk a számláló és a nevező értékét:

S10 = 0,5 *
59049 - 1
2
= 0,5 *
59048
2

A számszorzót felszorozzuk a számlálóba, majd elvégezzük az osztást és készen vagyunk.

S10 =
29524
2
= 14762

Tehát a sorozat első 10 tagjának összege 14762.

5. lépés: Foglaljuk össze a részeredményeket!

  • A sorozat 6. tagja: 121,5.
  • A sorozat első 10 tagjának az összege: 14762.

Tehát a megoldólapra is beírjuk ezeket a megfelelő helyre, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 7. feladat megoldás

 

 

8. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 8. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 8. feladat

Témakör: koordináta-geometria

1. lépés: ismételjük át gyorsan a két pont távolságát!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: van ez a két pontunk:

  • A(5 ; -3)
  • B(1 ; 0)

3. lépés: Számítsuk ki a két pont távolságát!

táv =
(Bx - Ax)2 + (By - Ay)2

FONTOS: ha a gyökjel alatt több művelet is van, akkor először azokat végezzük el és a legvégén van a gyökvonás!

  • A(5 ; -3) ⇒ Ax = 5 és Ay = -3
  • B(1 ; 0) ⇒ Bx = 1 és By = 0
  • Két pont távolságának kiszámítása:
  • táv =
    (1 - 5)2 + (0 - (-3) )2
  • táv =
    (-4)2 + 32
  • táv =
    16 + 9
  • táv =
    25
  • táv = 5

Megkaptuk, hogy a két pont távolsága 5.

Tehát a megoldólapra is beírjuk az 5-öt, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 8. feladat megoldás

 

 

9. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 9. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 9. feladat

Témakör: vektorok

1. lépés: ismételjük át gyorsan, mik a vektorok és hogyan végzünk velük összeadást, kivonást és számmal való szorzást!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: BH vektor meghatározása: az alábbi módon tudunk eljutni a "B" pontból a "H" pontba.

A B C D E F G H p q r q r -p

3. lépés: ezeken a vektorokon át haladunk: q + r - p.

Tehát a megoldólapra is beírjuk ezt, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 9. feladat megoldás

 

 

10. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 10. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 10. feladat

Témakör: elsőfokú függvények

1. lépés: ismételjük át gyorsan, hogyan tudunk elsőfokú függvényt felrajzolni.

2. lépés: ismételjük át gyorsan, mi az értelmezési tartomány és az értékkészlet.

Térjünk vissza a feladathoz!
3. lépés: ábrázoljuk az f(x) =
1
2
x + 3 függvényt a [-8 ; 4] zárt intervallumon!

4. lépés: zérushely meghatározása: zérushelye ott van egy függvénynek, ahol a függvényes kifejezés értéke 0. Tehát felírható ez az egyenlet:

1
2
x + 3
=0     / -3
1
2
x
=-3     / *2
x=-6

Tehát zérushelye a függvénynek az x = -6 pontban van.

5. lépés: értékkészlet meghatározása:

Értelmezési tartomány jelentése: a vízszintes (x) tengelyen mettől meddig ábrázoljuk a függvényt.
Értékkészlet jelentése: milyen értékeket vesz fel a függőleges (y) tengelyen a függvény.
Zérushely jelentése: az az x érték, ahol a függvény metszi a vízszintes tengelyt.

Az y tengelyen a legkisebb érték a -1, a legnagyobb érték pedig az 5. Így az értékkészlet a [-1;5] zárt intervallum, hiszen a két szélén lévő számot is felveszi.

Foglaljuk össze a részeredményeket!

  • Zérushely: x = -6
  • Értékkészlet: [-1 ; 5]

Tehát a megoldólapra is beírjuk ezeket, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 10. feladat megoldás

 

 

11. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 11. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 11. feladat

Témakör: statisztika

1. lépés: itt egy kördiagramot fogunk majd felrajzolni. Először határozzuk meg a fokokat! Tudjuk, hogy a kör 360°-os, ami megfelel 100%-nak. Ezt írjuk be a táblázatba!

100%360°

2. lépés: Határozzuk meg, hogy az 1% az hány foknak felel meg! Ehhez osszuk el a 360-at 100-zal, ami 3,6° lesz.

100%360°
1%360 : 100 = 3,6°

3. lépés: innen már könnyen megkapjuk az 50%-hoz, a 30%-hoz és a 20%-hoz tartozó fokokat!

Összesen:100%360°
Egység:1 %3,6°
60 perces jegy50%3,6 * 50 = 180°
90 perces jegy30%3,6 * 30 = 108°
30 perces jegy20%3,6 * 20 = 72°

4. lépés: helyesen felrajzoljuk a kördiagramot és ezekre az adatokra odafigyelünk:

  • 60 perces jegy: 180°-os szöget foglal el, 0°-tól 180°-ig.
  • 90 perces jegy: 108°-os szöget foglal el, 180°-tól 288°-ig.
  • 30 perces jegy: 72°-os szöget foglal el, 288°-tól 360°-ig (0°-ig).
60 perces 90 perces 30 perces 90° 180° 270°

Tehát a megoldólapra is berajzoljuk ezt a kördiagramot, lehetőleg minél pontosabban, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 11. feladat megoldás

 

 

12. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 12. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 12. feladat

Témakör: valószínűségszámítás

1. lépés: ismételjük át gyorsan a valószínűségszámítás alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: Van 3 db pénzérménk. Mindhárom érmével vagy fejet, vagy írást tudunk dobni. Ez darabonként 2 lehetőség, ami 3 érmével összesen 2 * 2 * 2 = 8. Tehát 8 az összes eset száma.

3. lépés: A feladat úgy határoz, hogy úgy kell dobni a 3 db érmével, hogy mindhárom azonos legyen. Ezeket így lehet kivitelezni:

  • F F F (mindhárom fej)
  • I I I (mindhárom írás)
  • Ez összesen 2 db lehetőség.
  • Kedvező esetek száma: 2
  • Összes eset száma: 8
  • Valószínűség:
kedvező esetek száma
összes eset száma
=
2
8
=
1
4

Itt 2-vel lehet egyszerűsíteni, de nem kötelező.

Tehát a megoldólapra is beírjuk a
2
8
-ot, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 12. feladat megoldás

 

 

13. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 13. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 13. feladat

Témakörök: zárójelfelbontás, nevezetes azonosságok, másodfokú egyenlet, egyenletrendszer

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Ismételjük át gyorsan, hogyan szorzunk össze zárójelet számmal, illetve több zárójeles kifejezést egymással!

Ismételjük át gyorsan a második hatvánnyal kapcsolatos nevezetes azonosságokat!

Térjünk vissza a feladathoz!

Oldjuk meg az egyenletet!

(x - 5)2 + 7=2x     / zárójelfelbontás
(x2 - 2 * x * 5 + 52) + 7=2x     / zárójelfelbontás
x2 - 2 * x * 5 + 52 + 7=2x     / összevonás
x2 - 10x + 25 + 7=2x     / összevonás
x2 - 10x + 32=2x     / -2x
x2 - 12x + 32=0

Alkalmazzuk a megoldóképletet!

A levezetés 1. lépése: a másodfokú egyenlet megoldóképletét idézzük fel!

-b  ± 
b2 - 4 * a * c
2 * a
2 * a
-b  ± 
b2 - 4 * a * c
  • a: hánnyal van megszorozva a második hatványos tag. Előjel is számít.
  • b: hánnyal van megszorozva a sima betűs tag. Előjel is számít.
  • c: mennyi a számtag. Előjel is számít.

A levezetés 2. lépése: behelyettesítünk a képletbe:

  • a = 1, mert az x2 együtthatója 1.
  • b = -12, mert az x együtthatója -12.
  • c = 32, mert számból 32 van.
-(-12)  ± 
(-12)2 - 4 * 1 * 32
2 * 1
2 * 1
-(-12)  ± 
(-12)2 - 4 * 1 * 32

A levezetés 3. lépése: lépésről lépésre kiszámoljuk a műveleteket.

12  ± 
144 - 128
2
2
12  ± 
144 - 128
=
12  ± 
16
2
2
12  ± 
16
=
12  ± 
4
2
2
12  ± 
4

Meghatározzuk a két eredményt:

12 ±
4
2
x1 =
12 + 4
2
=
16
2
=8
x2 =
12 - 4
2
=
8
2
=4

Tehát a két megoldás:

  • x1 = 8
  • x2 = 4

Ellenőrzés:

  • x1 = 4
  • x2 = 8
  • (x - 5)2 + 7 = 2x

  • Írjuk be az egyenletben x helyére először a 4-et!
  • (4 - 5)2 + 7 = 2 * 4
  • (-1)2 + 7 = 8
  • 1 + 7 = 8
  • 8 = 8 ⇒ HELYES!

  • Írjuk be az egyenletben x helyére most a 8-at!
  • (8 - 5)2 + 7 = 2 * 8
  • 32 + 7 = 16
  • 9 + 7 = 16
  • 16 = 16 ⇒ HELYES!

  • Tehát az ellenőrzés is azt igazolja, hogy helyes mindkét végeredmény.

2. lépés: nézzük a b) feladatot!

x + y=1
0,7x + 0,2y=x

A felső egyenletben fejezzük ki az y-t!

x + y=1     / -x
y=1 - x

Tehát az egyenletrendszer eddigi alakja így néz ki:

x + y=1
0,7x + 0,2y=x
y=1 - x
 

Helyettesítsük be az alsó egyenletben y helyére zárójelesen az 1 - x-et, majd oldjuk meg az egyenletet!

0,7x + 0,2 * (1 - x)=x     / zárójelfelbontás
0,7x + 0,2 - 0,2x=x     / összevonás
0,5x + 0,2=x     / -0,5x
0,2=0,5x     / :0,5
0,4=x

Tehát kijött, hogy x = 0,4. Az y értéke úgy jön ki, hogy a kifejezett egyenletben x helyére beírjuk a 0,4-et.

x + y=1
0,7x + 0,2y=x
x=0,4
 
 
y=1 - x
y=1 - 0,4 = 0,6
  • Tehát a betűkre ez a megoldás jött ki:
  • x = 0,4
  • y = 0,6

Ellenőrzés:

  • x = 0,4
  • y = 0,6

  • x + y = 1
  • 0,7x + 0,2y = x

  • Írjuk be mindkét egyenletben x helyére a 0,4-et, y helyére pedig a 0,6-ot!
  • 0,4 + 0,6 = 1 ⇒ HELYES!
  • 0,7 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,28 + 0,12 = 0,4 ⇒ HELYES!
  • Tehát az ellenőrzés is azt igazolja, hogy helyes a végeredmény.

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

14. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 14. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 14. feladat

Témakörök: százalékszámítás, statisztika

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Határozzuk meg, hány fiú, illetve lány van az osztályokban, illetve mennyi a létszám!

OsztályFiúkLányokLétszám
12.A181432
12.B24630
12.C181735
12.D121527

A legkisebb létszámú osztály a 12.D-ben van.

  • Fiúk száma: 12 db
  • Lányok száma: 15 db

Meghatározzuk, hogy a lányok száma hány %-a a fiúk számának. Tehát a fiúk száma lesz a 100%. Oldjuk meg egyenes arányossággal a feladatot!

12 db100%
1 db(100 : 12)%
15 db(100 : 12 * 15)% = 125%

Tehát megkaptuk, hogy a lányok száma 125%-a a fiúk számának a legkisebb létszámú osztályban.

2. lépés: nézzük a b) feladatot! Ismételjük át gyorsan, mi a terjedelem, módusz, átlag, medián!

3. lépés: ismételjük át gyorsan, mi a szórás!

Kitöltjük a táblázatot:

Osztály12.A12.B12.C12.D
Lányok száma1461715

4. lépés: terjedelem meghatározása:
Legnagyobb értékű elem - Legkisebb értékű elem.

  • Legnagyobb értékű elem: 17.
  • Legkisebb értékű elem: 6.
  • Terjedelem: 17 - 6 = 11.

Átlag meghatározása:

  1. Először össze kell adni az összes elemet.
  2. Utána el kell osztani annyival, ahány db elem van.
  • Van 4 db elemünk.
  • Adjuk össze az összes elemet: 14 + 6 + 17 + 15 = 52.
  • Ezt osszuk el 4-gyel: 52 : 4 = 13.
  • Tehát az átlag 13.

5. lépés: szórás meghatározása: először kell nyitni egy olyan táblázatot, ahová leírunk minden egyes elemet, az elem és az átlag különbségét, valamint az elem és az átlag különbségének a második hatványát (négyzetét).

xx - átlag(x - átlag)2
1414 - 13 = 112 = 1
66 - 13 = -7(-7)2 = 49
1717 - 13 = 442 = 16
1515 - 13 = 222 = 4
összesen:70

Most be kell helyettesíteni ebbe a képletbe:

szórás =
(x - átlag)2 oszlopainak összege
darabszám

Helyettesítsünk be!

szórás =
70
4
 = 
17,5
≈ 4,18

6. lépés: nézzük a c) feladatot!

  • Fiúk száma a 12.B osztályban: 24 db
  • Lányok száma a 12.B osztályban: 6 db
  • A 12.B osztály létszáma: 24 + 6 = 30 db
  • Lányok év végi matematikajegyeinek átlaga: 4,5
  • Osztály év végi matematikajegyeinek átlaga: 4,1

  • Ha 6 db lány van, és átlagosan 4,5 lett az átlaguk, akkor a lányok jegyeinek összege: 6 * 4,5 = 27.
  • Ha 30 db az osztály létszáma, és átlagosan 4,1 lett 1-1 tanuló átlaga, akkor az osztály tanulóinak jegyeinek összege: 30 * 4,1 = 123.
  • A fiúk jegyeinek összegét megkapjuk úgy, hogy az osztály jegyeinek összegéből kivonjuk a lányok jegyeinek összegét: 123 - 27 = 96.

  • A fiúk jegyeinek összege: 96
  • Fiúk száma a 12.B osztályban: 24 db
  • Átlagot megkapjuk úgy, hogy a fiúk jegyeinek összegét elosztjuk a fiúk számával: 96 : 24 = 4

Tehát a fiúk jegyeinek átlaga 4.

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

15. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 15. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 15. feladat

Témakörök: egyenes arányosság, síkgeometria, térgeometria

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Dolgozzuk fel a szöveg jelentését!

1,3 kg szőlő1 liter szőlőlé
5 liter szőlőlé1 tasak
4,7 tonna szőlő? tasak?

Vigyük végig a folyamaton a 4,7 tonna szőlőlét. Mivel 1 tonna = 1000 kg, így 4,7 tonna = 4700kg.

4700 kg szőlő4700 : 1,3 = 3615,3846 liter szőlőlé
3615,3846 liter szőlőlé3615,3846 : 5 = 723,07692 tasak

Tehát 723 db teli tasak készül el 4,7 tonna szőlőből. Fontos, hogy csak a teli tasakokat nézzük, így ilyenkor mindig lefelé kerekítünk.

2. lépés: nézzük a b) feladatot! Ismerjük a doboz éleinek a hosszát.

a = 12 cm b = 20 cm c = 25 cm V = ?
  • a = 12 cm
  • b = 20 cm
  • c = 25 cm

Egy téglatest térfogatát megkapjuk úgy, hogy a 3 db különböző irányú élének hosszát összeszorozzuk egymással. Képlet:

V (térfogat) = a * b * c

3. lépés: Mivel mindenhol azonosak a mértékegységek, behelyettesíthetünk a képletbe:

V = 12 cm * 20 cm * 25 cm = 6 000 cm3

Ismételjük át gyorsan a hosszúság és a térfogat mértékegységeit!

Térjünk vissza a feladathoz!

Már csak a 6 000 cm3-t kell átváltani literbe. Mivel 1 liter = 1 dm3, így a 6 000 cm3-t elég csak dm3-be átváltani. A váltószám 1000 és osztani kell, tehát 6000 cm3 = 6000 : 1000 = 6 dm3 = 6 liter.

Tehát 6 literes a doboz.

4. lépés: nézzük a c) feladatot! Készítsünk vázlatrajzot a szövegben leírtakról!

4x 3x T = 1,47 ha
  • Ha két oldal aránya 3:4, akkor az egyik oldal 3x, a másik oldal 4x.
  • A téglalap területe: a * b.
  • Váltsuk át a hektárt m2-be!
  • Mivel 1 ha = 10 000 m2, így 1,47 ha = 14 700 m2
  • Kialakul ez az egyenlet, amit meg is oldunk:
3x * 4x=14 700     / összevonás
12x2=14 700     / :12
x2=1 225     /   
 
x=35

Tehát x = 35 méter. Ha visszahelyettesítünk ezzel az értékkel, akkor megkapjuk ezeket:

  • 3x = 3 * 35 m = 105 m
  • 4x = 4 * 35 m = 140 m
140 m 105 m
  • A téglalap kerülete: 2 * (a + b)
  • Behelyettesítünk:
  • K = 2 * (105 m + 140 m)
  • K = 2 * 245 m = 490 m

Tehát a téglalap kerülete 490 méter.

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

16. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 16. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 16. feladat

Témakörök: számtani sorozat, mértani sorozat

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Ismételjük át gyorsan a számtani sorozatok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

Értelmezzük a szöveget!

  • Az autó kezdeti értéke: 6 millió Ft.
  • 5 év, vagyis 60 hónap alatt csökken az értéke a felére, vagyis ekkor 3 millió Ft-ot fog érni.
  • Mivel lineárisan (egyenletesen) csökken az értéke, ezért ez egy számtani sorozat. Az ismert adatok:

  • a0 = 6 millió (a kiinduló állapotot elnevezhetjük 0-s indexszel).
  • a60 = 3 millió (havonta mérjük a csökkenést, ezért keressük a 60. elemet, mert 60 hónap telik el).
  • d = ?

  • a0 + 60d = a60
  • Ebből kialakul ez az egyenlet:
6 000 000 + 60d = 3 000 000

Oldjuk meg az egyenletet!

6 000 000 + 60d=3 000 000     / -6 000 000
60d=-3 000 000     / :60
d=-50 000

Tehát megkaptuk, hogy a kocsi értéke havonta 50 000 Ft-tal csökken.

2. lépés: nézzük a b) feladatot! Ismételjük át gyorsan a mértani sorozatok alapjait!

3. lépés: ismételjük át gyorsan a százalékszámításban azt, hogyan tudunk gyorsan megnövelni, vagy lecsökkenteni bizonyos százalékkal számokat!

Térjünk vissza a feladathoz!

Értelmezzük a szöveget!

  • Az autó kezdeti értéke: 6 millió Ft.
  • Az autó értéke havonta 1%-kal csökken, vagyis az értéke 99%-a marad csak meg.
  • Ha egy szám 99%-ára vagyunk kíváncsiak, akkor 0,99-cel kell szorozni.
  • Mivel a modell exponenciális, ezért ez egy mértani sorozat lesz. Az ismert adatok:

  • a0 = 6 millió (a kiinduló állapotot elnevezhetjük 0-s indexszel).
  • q = 0,99
  • n = 24 (2 év múlvai állapotra vagyunk kíváncsiak, de mivel havonta csökken az érték, ezért hónapokban kell számolni).
  • a24 = ?

  • a0 * q24 = a24
  • Behelyettesítünk, és kiszámoljuk az értéket:
a24 = 6 000 000 * 0,9924
a24 = 6 000 000 * 0,78567814
a24 = 4 714 068,8 ≈ 4 714 069

Tehát megkaptuk, hogy a kocsi értéke 2 év múlva kerekítve 4 714 069 Ft lesz.

Számoljuk ki azt is, hogy ez hány %-os csökkenést jelent!

  • Az autó kezdeti értéke: 6 millió Ft.
  • Az autó értéke 2 év után: 4 714 069 Ft.
  • A kezdeti érték lesz a 100%, oldjuk meg egyenes arányossággal a feladatot!
100%=6 000 000
? %=4 714 069
1%=60 000
(4 714 069 : 60 000) %=4 714 069
78,57%=4 714 069

A százalékos csökkenést megkapjuk úgy, hogy a 100%-ból kivonjuk a 78,57%-ot, ami 21,43%. Tehát a kocsi értéke 21,43%-kal csökkent 2 év alatt.

4. lépés: nézzük a c) feladatot! Értelmezzük a szöveget!

  • Az autó kezdeti értéke: 6 millió Ft.
  • Az autó új értéke a fele lesz, vagyis: 3 millió Ft.
  • Az autó értéke havonta 1%-kal csökken, vagyis az értéke 99%-a marad csak meg.
  • Ha egy szám 99%-ára vagyunk kíváncsiak, akkor 0,99-cel kell szorozni.
  • Mivel a modell exponenciális, ezért ez egy mértani sorozat lesz. Az ismert adatok:

  • a0 = 6 millió (a kiinduló állapotot elnevezhetjük 0-s indexszel).
  • an = 3 millió (a végállapot sorszámát nem tudjuk, ezért lesz an).
  • q = 0,99
  • n = ?

Ezt a képletet használjuk:

an = am * qn - m
  • m = az a sorszámú elem, amit ismerünk
  • n = az a sorszámú elem, amit NEM ismerünk
  • m = 0
  • n = ?
  • an = a0 * 0,99n - 0
  • Behelyettesítünk, majd megoldjuk az egyenletet:
3 000 000=6 000 000 * 0,99n     / : 6 000 000
0,5=0,99n
lg 0,5
lg 0,99
=n
68,9675=n

FONTOS: a lent látható képletet alkalmaztuk. A logaritmus itt csupán csak a számoláshoz kell, amit a számológép fog elvégezni.

ax = b 
 x =
lg(b)
lg(a)

Kijött, hogy 68,9675 hónap alatt csökken a kocsi értéke a felére, amit ha kerekítünk egészre, 69-et kapunk.

5. lépés: nézzük a d) feladatot! Értelmezzük a szöveget!

  • Januárban elad 65 db autót.
  • Az év során elad 1110 db autót.
  • Havonta ugyanannyival több autót ad el, ezért ez számtani sorozat lesz.

  • a1 = 65
  • n = 12 (1 évben 12 hónap van)
  • S12 = 1110 (sorozat első 12 tagjának az összege 1110)
  • d = ?

A számtani sorozat első 12 tagjának összegére ez a képlet:

Sn =
a1 + an
2
* n

"n" helyére beírjuk a 12-t.

S12 =
a1 + a12
2
* 12

Az a12 így is felírható: a1 + 11d.

S12 =
a1 + a1 + 11d
2
* 12

Behelyettesítjük azokat az adatokat, amiket ismerünk.

1110 =
65 + 65 + 11d
2
* 12

Megoldjuk az egyenletet:

1110=
65 + 65 + 11d
2
* 12
     / összevonás
1110=
130 + 11d
2
* 12
     / *2
2220=(130 + 11d) * 12     / zárójelfelbontás
2220=1560 + 132d     / -1560
660=132d     / :132
5=d

Tehát 5 db-bal kell a havi eladások számát növelni.

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

17. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 17. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 17. feladat

Témakörök: térgeometria, valószínűségszámítás

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Készítsünk vázlatrajzot!

  • A kisebb alapkör átmérője 11 cm, így a sugara ennek fele, 11 : 2 = 5,5 cm
  • A nagyobb alapkör átmérője 14 cm, így a sugara ennek fele, 14 : 2 = 7 cm
  • A két test magassága ugyanakkora, így a magasságuk a teljes magasság fele, 21 : 2 = 10,5 cm
r = 5,5 cm R = 7 cm M = 10,5 cm M = 10,5 cm

Az edény térfogatát megkapjuk úgy, hogy kiszámoljuk a lenti csonkakúp és a fenti henger térfogatát is, majd összeadjuk a kapott térfogatokat.

Csonkakúp térfogatának a képlete:

Vcs. kúp =
M * Π
3
* (R2 + Rr + r2)

Ezek a jelölések:
  1. M: magasság.
  2. r: kisebb kör sugara
  3. R: nagyobb kör sugara

Behelyettesítünk:

  • R = 7 cm
  • r = 5,5 cm
  • M = 10,5 cm
Vcs. kúp =
10,5 * Π
3
* (72 + 5,5 * 7 + 5,52)
Vcs. kúp =
32,9867
3
* (49 + 38,5 + 30,25)
Vcs. kúp = 10,9956 * 117,75 ≈ 1 294,7 cm3

Henger térfogatának a képlete:

Vhenger = r2 * Π * M

Ezek a jelölések:
  1. M: magasság
  2. r: kör sugara

Behelyettesítünk:

  • r = 5,5 cm
  • M = 10,5 cm
Vhenger = 5,52 * Π * 10,5
Vhenger = 30,25 * Π * 10,5 ≈ 997,8 cm3

A teljes edény térfogata tehát:

V = Vcs. kúp + Vhenger
V = 1 294,7 cm3 + 997,8 cm3 = 2 292,5 cm3

2. lépés: nézzük a b) feladatot! Az ábra ugyanaz, csak ki kell számolni az alakzat felszínét. A felszínhez minden kell, kivéve a feketével berajzolt körök.

r = 5,5 cm R = 7 cm M = 10,5 cm M = 10,5 cm

Az edény felszínét megkapjuk úgy, hogy kiszámoljuk a lenti csonkakúp és a fenti henger felszínét is, kivéve a fekete körök területét.

Csonkakúp felszínének a képlete:

Acs. kúp = Π * [R2 + r2 + (R + r) * a]

Ezek a jelölések:
  1. M: magasság.
  2. r: kisebb kör sugara
  3. R: nagyobb kör sugara
  4. a: alkotó

Az alkotót nem tudjuk, így kiszámoljuk. Rajzoljuk le a csonkakúp oldalnézeti ábráját, ami egy trapéz lesz.

11 cm 14 cm M = 10,5 cm a = ?

Az alsó oldal adatait írjuk le részletesebben, hogy minden fontos adatot láthassunk!

11 cm 11 cm 1,5 cm 1,5 cm M = 10,5 cm a = ?

Rajzoljuk ki az egyik derékszögű háromszöget, hogy használni tudjuk a Pithagorasz-tételt!

1,5 cm 10,5 cm a = ?

Alkalmazzuk a Pithagorasz-tételt:

befogó12 + befogó22 = átfogó2

  • befogó1: az egyik befogó
  • befogó2: a másik befogó
  • A két befogó a derékszögű háromszög két rövidebb oldala
  • átfogó: a derékszögű háromszög leghosszabb oldala
1,52 + 10,52=a2     / összevonás
2,25 + 110,25=a2     / összevonás
112,5=a2     /   
 
112,5
=a
Tehát kijött, hogy az alkotó hossza
112,5
cm.

Most már be tudunk helyettesíteni a képletbe:

  • R = 7 cm
  • r = 5,5 cm
  • M = 10,5 cm
  • a =
    112,5
    cm
Acs. kúp = Π * [R2 + r2 + (R + r) * a]
Acs. kúp = Π * [72 + 5,52 + (7 + 5,5) *
112,5
]
Acs. kúp = Π * (49 + 30,25 + 12,5 * 10,6066)
Acs. kúp = Π * (79,25 + 132,5825) ≈ 665,49 cm2

Ebből még ki kell vonni a fekete kör területét:

  • Tkör = r2 * Π
  • Tkör = 5,52 * Π
  • Tkör = 30,25 * Π ≈ 95 cm2

Tehát a szükséges felszín: A = 665,49 cm2 - 95 cm2570,5 cm2.

A hengernek csak a palástja kell, így a palást területét számoljuk ki:

Tpalást = 2r * Π * M

Ezek a jelölések:
  1. M: magasság
  2. r: kör sugara

Behelyettesítünk:

  • r = 5,5 cm
  • M = 10,5 cm
Tpalást = 2r * Π * M
Tpalást = 2 * 5,5 * Π * 10,5 = 362,85 cm2

A teljes edény felszíne tehát:

A = Acs. kúp szükséges + Ahenger szükséges
A = 570,5 cm2 + 362,85 cm2 ≈ 933,3 cm2

Az edény belső felületén a zománcozott felület nagysága kerekítve 933,3 cm2.

3. lépés: nézzük a c) feladatot! Ismételjük át gyorsan a valószínűségszámítás alapjait!

Ismételjük át gyorsan a permutációt, variációt és a kombinációt!

Térjünk vissza a feladathoz!

A feladat úgy határoz, hogy 20 db edényből fog kiválasztani az ember 4-et. Mivel a kiválasztás sorrendje mindegy, így ez kombináció. Lehetőségek száma:

20
4
=
20!
4! * (20 - 4)!
 = 
20!
4! * 16!
 = 
20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * ... * 2 * 1
1 * 2 * 3 * 4 * 16 * 15 * ... * 2 * 1
 = 
20 * 19 * 18 * 17
1 * 2 * 3 * 4
 = 
116 280
24
= 4 845

Tehát az összes lehetőség száma: 4 845.

4. lépés: A feladat a következőket fogalmazza meg:

5 db edényben
van natúr müzli
15 db edényben
van csokis müzli
1-et választ ki belőlük3-at választ ki belőlük

Natúr müzlit ennyi féle módon választhat ki:

5
1
=
5!
1! * (5 - 1)!
 = 
5!
1! * 4!
 = 
5 * 4 * 3 * 2 * 1
1 * 4 * 3 * 2 * 1
 = 
5
1
= 5

Csokis müzlit ennyi féle módon választhat ki:

15
3
=
15!
3! * (15 - 3)!
 = 
15!
3! * 12!
 = 
15 * 14 * 13 * 12 * 11 * ... * 2 * 2 *
1 * 2 * 3 * 12 * 11 * ... * 2 * 1
 = 
2 730
6
= 455
  • Natúr választások száma: 5 db
  • Csokis választások száma: 455 db
  • A kedvező esetek számát megkapjuk úgy, hogy összeszorozzuk a részeredményeket.
  • Kedvező esetek száma: 5 * 455 = 2 275.
  • Kedvező esetek száma: 2 275
  • Összes eset száma: 4 845
  • Valószínűség:
kedvező esetek száma
összes eset száma
=
2275
4845

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

18. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 18. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 18. feladat

Témakörök: halmazok, számelmélet, oszthatósági szabályok, kombinatorika,

1. lépés: nézzük az a) feladatot! Ismételjük át gyorsan a halmaz részeit!

A B A \ B A ∩ B B \ A
  • A U B: az A és a B halmaz összes eleme.
  • AB: azok az elemek, amelyek mindkét halmazban benne vannak.
  • A \ B: Minden, ami A-ban benne van és B-ben nincs benne.
  • B \ A: Minden, ami B-ben benne van és A-ban nincs benne.

Első állítás: ha B üres halmaz, akkor AB is üres halmaz.

Ez igaz, mert ha egy halmaz üres, akkor minden halmaz üres lesz, ami vele metszetben lesz. Például ebben az ábrában láthatjuk ezt:

A B 1 4 9

Második állítás: ha A = B, akkor A \ B üres halmaz.

Ez igaz, mert ha egy halmazból kivonod önmagát, üres halmazt kapunk. Minden elem a metszetben lesz ilyekor. Például ebben az ábrában láthatjuk ezt:

A B 1 4 9

Harmadik állítás: ha A U B = A, akkor A = B.

Ez hamis, mert egy halmazt ha uniózunk egy másik halmazzal és marad az eredeti halmaz, akkor a másik halmaz lehet üres halmaz is, vagy az eredeti halmaz bármely részhalmaza. Példák, ahol A U B = A:

A B 1 2 3

Itt is igaz, hogy A U B = A.

A B 1 2 3

Itt is igaz, hogy A U B = A.

A B 1 2 3

Foglaljuk össze az állításokat!

  • I. állítás: igaz
  • II. állítás: igaz
  • III. állítás: hamis

2. lépés: nézzük a b) feladatot! Ha AB üres halmaz, akkor B is üres halmaz. Készítsünk rajzot!

A B 1 2 3 4 5 6

Az állítás hamis, mert ha A és B halmaznak nincs közös eleme, akkor megbukik az állítás.

3. lépés: nézzük a c) feladatot! Ismételjük át:

Négyzetszám jelentése: olyan szám, ami előáll úgy, hogy egy egész számot négyzetre (2. hatványra) emelünk. Példák:

  • 02 = 0 * 0 = 0
  • 12 = 1 * 1 = 1
  • 22 = 2 * 2 = 4
  • 32 = 3 * 3 = 9
  • További négyzetszámok: 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...

4. lépés: ismételjük át gyorsan, mik a prímszámok!

Összetett szám jelentése: olyan szám, amely legalább 3 db különböző pozitív egész számmal osztható. Példák:

  • 4, mert ezekkel osztható: 1, 2, 4
  • 6, mert ezekkel osztható: 1, 2, 3, 6
  • 8, mert ezekkel osztható: 1, 2, 4, 8
  • 9, mert ezekkel osztható: 1, 3, 9

3-mal osztható számok: 3, 6, 9, 12, ...

Gyűjtsük ki halmazba az egyjegyű pozitív egész számokat!

  • Négyzetszámok = {1 ; 4 ; 9}
  • Összetett számok = {4 ; 6 ; 8 ; 9}
  • 3-mal osztható számok = {3 ; 6 ; 9}
  • Egyik sem = {2 ; 5 ; 7}

Töltsük ki a halmazábrát!

Egyjegyű pozitív egész számok Négyzetszámok Összetett számok 3-mal osztható számok 2 5 7 1 4 6 8 3 9

5. lépés: nézzük a d) feladatot! Ismételjük át!

4-gyel akkor osztható egy szám, ha az utolsó 2 számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Másképp mondva: ha a szám végződése ezek közül valamelyik: 00, 04, 08, 12, 16, 20, ... , 88, 92, 96. Példák:
  • 4328: mivel a 28 osztható 4-gyel, így a 4328 osztható 4-gyel.
  • 9366: mivel a 66 NEM osztható 4-gyel, így a 9366 NEM osztható 4-gyel.
  • 12560: mivel a 60 osztható 4-gyel, így a 12560 osztható 4-gyel.
  • 20178: mivel a 78 NEM osztható 4-gyel, így a 20178 NEM osztható 4-gyel.

Ezekkel a számjegyekkel rendelkezünk: 0, 1, 2, 4, 9, és úgy kell ötjegyű számokat alkotni, hogy minden számjegyet felhasználunk, illetve a szám osztható legyen 4-gyel. A szám ezekre végződhet:

  • 04
  • 12
  • 20
  • 24
  • 40
  • 92

Mivel egy szám nem kezdődhet nullával, így megkülönböztetjük azokat az eseteket, amikor az utolsó két számjegyben felhasználtuk-e már a nullát, vagy nem használtuk fel.

  • 3 db eset, amikor felhasználtuk.
  • 3 db eset, amikor nem használtuk fel.

Vonalas ábrával nézzük meg, hány db lehetőség van ötjegyű számok alkotására, ha már felhasználtuk a nullát.

0 4

Az első helyre 3 féle számjegy jöhet, utána 2, majd 1. Ez 3 * 2 * 1 = 6 db lehetőség.

Vonalas ábrával most nézzük meg, hány db lehetőség van ötjegyű számok alkotására, ha még nem használtuk fel a nullát.

1 2

Az első helyre 2 féle számjegy jöhet, mivel a 0 nem állhat az első helyen. Utána 2 lehetőség van (lehet már a nulla), majd 1. Ez 2 * 2 * 1 = 4 db lehetőség.

Foglaljuk össze a lehetőségek számát!

  • 3 db olyan eset van, amikor a nulla szerepel az utolsó 2 helyiértéken. Egyenként ilyenkor 6 féle módon helyezkedhetnek el a számjegyek a többi helyen, így a lehetőségek száma: 3 * 6 = 18 db.
  • 3 db olyan eset van, amikor a nulla NEM szerepel az utolsó 2 helyiértéken. Egyenként ilyenkor 4 féle módon helyezkedhetnek el a számjegyek a többi helyen, így a lehetőségek száma: 3 * 4 = 12 db.
  • Tehát 12 + 18 = 30 db ötjegyű, 4-gyel osztható szám alkotható ezekből a számjegyekből, ha minden számjegy különböző.

Kész is vagyunk a teljes feladattal 🙂

 

 

FONTOS!

Jelenleg nem vagy bejelentkezve, ezért az ingyenes üzemmódot használod, tehát 3 db érettségi témakört nézhetsz meg.

A bejelentkezéshez kattints ide!

Ha rendelkezel aktív előfizetéssel, összesen 39 db rövid válaszos témakörhöz és 18 db levezetett hosszú válaszos feladathoz lesz hozzáférésed és számos ismétlést is megtekinthetsz, továbbá feladatsorokat is megtekinthetsz 2015-2021-ig, például: 2020 májusi érettségi.

A megrendelés indításához nyomd meg valamelyik gombot, attól függően, mennyi időre szeretnéd megrendelni!

Középszintű matek érettségi
Középszintű matek érettségi főoldal
Általános
Felkészítők

2021-2022 csabatanit.hu

barion