Középszintű matek érettségi főoldal

Matek érettségi - Gráfok

Másik témakör választásához kattints ide!

1. példa: Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: teljes gráf jelentése: olyan gráf, ahol minden él be van rajzolva, és a fokszámok a lehető legnagyobbak. Példák teljes gráfra:

4 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 3, mert 3 lehet a legnagyobb.

3 3 3 3

5 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 4, mert 4 lehet a legnagyobb.

4 4 4 4 4

3. lépés: az élek számát így határozzuk meg teljes gráfban képlettel:

Élek
száma
 = 
pontok száma * (pontok száma - 1)
2
  • Minden pontból húzunk éleket, ezért kell a pontok száma.
  • Egy pontból mindenhová húzhatunk élet, kivéve saját magához, ezért kell 1-et kivonni.
  • Mivel minden csúcsból húzunk vonalat, valamint érkezik is oda, ezért osztani kell 2-vel, mert csak 1-szer kell beleszámolni mindegyiket.

4. lépés: helyettesítsünk be a képletbe úgy, hogy 10 pontú gráfunk van!

  • Pontok száma = 10
  • Behelyettesítünk a képletbe és készen vagyunk:
Élek száma =
10 * (10 - 1)
2
=
10 * 9
2
= 90 : 2 = 45

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 45-öt, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2022. tavasz, 2. feladat megoldás

 

 

2. példa: Középszintű matek érettségi, 2020. tavasz, 4. feladat

Középszintű matek érettségi, 2020. tavasz, 4. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: értelmezzük az első állítást: "A" ismer mindenkit az asztalnál!

Ezt úgy ábrázoljuk, hogy az "A" betűt minden másik betűvel összekötjük.

A B C D E

3. lépés: értelmezzük a következő állítást: "B" nem ismeri "E"-t, de a többieket ismeri.

Ezt úgy ábrázoljuk, hogy a "B" betűt minden másik betűvel összekötjük, kivéve az "E"-vel. Az "A"-val már össze van kötve, így azt nem kell mégegyszer berajzolni.

A B C D E

4. lépés: értelmezzük a következő állítást: "C" 2 db résztvevőt ismer. Ez már megtörtént, így nem kell új vonalat behúzni.

5. lépés: értelmezzük a következő állítást: "D" 3 embert ismer. Eddig 2 vonal van behúzva hozzá, így szükséges még 1 db. "C"-vel nem köthetjük össze, hiszen csak 2 embert ismer és már megvan ez neki, így kizárásos alapon csak az "E"-vel tudjuk összekötni.

Ezt úgy ábrázoljuk, hogy a "D" betűt összekötjük az "E" betűvel.

A B C D E

6. lépés: A feladat azt is kéri, hogy állapítsuk meg, kiket ismer "E"! Ezek a személyek pedig az "A" és a "D".

Tehát a megoldólapra is lerajzoljuk ezt, lehetőleg minél szebben, valamint beírjuk "E" ismerőseihez az "A"-t és a "D"-t, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2020. tavasz, 4. feladat megoldás

 

 

3. példa: Középszintű matek érettségi, 2019. ősz, 1. feladat

Középszintű matek érettségi, 2019. ősz, 1. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: rajzoljunk 6 db pontot!

3. lépés: mivel ezt a feladatot többféle módon is meg lehet oldani, érdemes megismerni egy általános módszert:

Húzzunk be egy vonalat! Ekkor a fokszám 2 lesz. A fokszám azt jelenti, egy adott csúcsból hány vonal indul ki. Itt most 2 db olyan csúcs van, amiből 1 vonal indul ki, így jön ki a fokszám: 1 + 1 = 2.

1 1

4. lépés: Húzzunk be még egy vonalat! Ekkor a fokszám 4 lesz. A fokszám azt jelenti, egy adott csúcsból hány vonal indul ki. Itt most 4 db olyan csúcs van, amiből 1 vonal indul ki, így jön ki a fokszám: 1 + 1 + 1 + 1 = 4.

1 1 1 1

5. lépés: megállapíthatjuk, hogy ha 1 db vonalat húzunk be, akkor 2-vel nő a fokszám. Így összesen tehát 7 db vonalat kell behúzni, ami által a fokszám 7 * 2 = 14 lesz. Minden megoldás jó, ahol 7 db vonal van berajzolva. Itt egy példa:

2 2 2 3 3 2
  • A felső 2 pontból 2 db vonal indul ki, így az ottani pontok fokszáma 2.
  • A középső 2 pontból 2 db vonal indul ki, így az ottani pontok fokszáma 2.
  • Az alsó 2 pontból 3 db vonal indul ki, így az ottani pontok fokszáma 3.
  • Így a pontok fokszámának összege: 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 14.

Tehát a megoldólapra is lerajzoljuk ezt, lehetőleg minél szebben és a fokszámok jelölése nélkül, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2019. ősz, 1. feladat megoldás

 

 

4. példa: Középszintű matek érettségi, 2019. tavasz, 5. feladat

Középszintű matek érettségi, 2019. tavasz, 5. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: rajzoljunk 5 db pontot!

3. lépés: húzzunk be egy vonalat! Ekkor a fokszám 2 lesz. A fokszám azt jelenti, egy adott csúcsból hány vonal indul ki. Itt most 2 db olyan csúcs van, amiből 1 vonal indul ki, így jön ki a fokszám: 1 + 1 = 2.

1 1

4. lépés: megállapíthatjuk, hogy ha 1 db vonalat húzunk be, akkor 2-vel nő a fokszám. Így ha összesen 7 db élből áll a gráf, akkor a fokszám 7 * 2 = 14 lesz. Itt egy példa:

4 2 4 2 2
  • A fokszámok összege: 2 + 2 + 2 + 4 + 4 = 14.
  • Tehát rajzzal is láthatjuk, hogy 7 él (vonal) berajzolása esetén 14 a fokszám.

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 14-et, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2019. tavasz, 5. feladat megoldás

 

 

5. példa: Középszintű matek érettségi, 2018. tavasz, 5. feladat

Középszintű matek érettségi, 2018. tavasz, 5. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: a feladat úgy szól, hogy a "G" embert leszámítva a csúcsok fokszáma: 1, 2, 3, 4, 4, 5. A "G"-nek a fokszámát később kell meghatározni.

A feladat által megadott fokszámokat adjuk össze: 1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 = 19. Mivel a fokszámok összege páros kell legyen, így a "G" ember ismerőseinek száma 1, 3, vagy 5 lehet.

3. lépés: rajzoljunk 7 db pontot!

G

4. lépés: mivel ezt a feladatot többféle módon is meg lehet oldani, 1 db megoldást fogunk most levezetni.

Először rajzoljuk be azt, akinek 5 db ismerőse van, vagyis az egyik karikától indítsunk el 5 db vonalat.

G 1 5 1 1 0 1 1

5. lépés: berajzoljuk azokat, akiknek 4 db ismerősük van. A "G"-vel is összeköthetünk embereket.

G 1 5 4 4 2 1 3

6. lépés: összekötjük az utolsó 2 elemet, ami piros vonallal látható. Így kialakulnak a "G" betűt leszámítva az 1,2,3,4,4,5 fokszámú csúcsok.

G 1 5 4 4 3 2 3
  • A fokszámok összege ebben a példában: 22
  • Ebben a példában a "G" ember ismerőseinek száma: 3.

Tehát a megoldólapra is lerajzoljuk ezt az ábrát, lehetőleg minél szebben és a fokszámok jelölése nélkül, továbbá a 3-at is beírjuk a megfelelő helyre, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2018. tavasz, 5. feladat megoldás

Megjegyzés: olyan rajz is jó, ahol a "G" ember ismerőseinek száma 1, vagy 5, ha a többi ember fokszáma stimmel.

 

 

6. példa: Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 6. feladat

Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 6. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: teljes gráf jelentése: olyan gráf, ahol minden él be van rajzolva, és a fokszámok a lehető legnagyobbak. Példák teljes gráfra:

4 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 3, mert 3 lehet a legnagyobb.

3 3 3 3

5 pontú teljes gráfnál minden elem fokszáma 4, mert 4 lehet a legnagyobb.

4 4 4 4 4

3. lépés: az élek számát így határozzuk meg teljes gráfban képlettel:

Élek
száma
 = 
pontok száma * (pontok száma - 1)
2
  • Minden pontból húzunk éleket, ezért kell a pontok száma.
  • Egy pontból mindenhová húzhatunk élet, kivéve saját magához, ezért kell 1-et kivonni.
  • Mivel minden csúcsból húzunk vonalat, valamint érkezik is oda, ezért osztani kell 2-vel, mert csak 1-szer kell beleszámolni mindegyiket.

4. lépés: helyettesítsünk be a képletbe úgy, hogy 8 pontú gráfunk van!

  • Pontok száma = 8
  • Behelyettesítünk a képletbe és készen vagyunk:
Élek száma =
8 * (8 - 1)
2
=
8 * 7
2
= 56 : 2 = 28

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 28-at, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 6. feladat megoldás

 

 

7. példa: Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 8. feladat

Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 8. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: tekintsük a 7 fős társaságot egy 7 pontú gráfnak, amelyben a fokszámok: 1, 2, 2, 3, 3, 6, 6. Egy-egy koccintást úgy jelölünk, hogy összekötünk 2 pontot.

3. lépés: adjuk össze a fokszámokat! 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 6 + 6 = 23.

  • Ha berajzolunk egy vonalat, a fokszám 2-vel növekszik.
  • Ebből következik, hogy a csúcsok fokszámának összege PÁROS kell legyen.
  • Mivel ebben a példában a fokszámok összege 23, így NEM lehet ilyen gráfot rajzolni, ezáltal NEM lehetséges az, hogy ennyi legyen fejenként a koccintások száma.

Tehát a megoldólapra is beírjuk azt, hogy nem lehetséges, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2017. ősz, 8. feladat megoldás

 

 

8. példa: Középszintű matek érettségi, 2017. tavasz, 3. feladat

Középszintű matek érettségi, 2017. tavasz, 3. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: értelmezzük: Cili ismeri Dezsőt és Egont! Ezt úgy jelöljük, hogy a "C" betűt összekötjük "D"-vel és "E"-vel.

A(0) B(0) C(2) D(1) E(1) F(0)

3. lépés: értelmezzük: Anna nem ismeri sem Balázst, sem Dezsőt! Tehát "A"-t nem köthetjük össze sem "B"-vel, sem "D"-vel. Mivel marad 3 ember, akivel össze lehet kötni és mindenki pontosan 3 embert ismer, így egyértelmű, hogy "A"-t össze lehet kötni "C"-vel, "E"-vel és "F"-fel.

A(3) B(0) C(3) D(1) E(2) F(1)

4. lépés: Láthatjuk, hogy ebben a pillanatban "B" betű senkit sem ismer, a fokszáma 0. Mivel mindenki 3 embert ismer, és 2 embernél már megvan a 3 ismeretség (A, C), így egyértelmű, hogy "B"-t össze lehet kötni "D"-vel, "E"-vel és "F"-fel.

A(3) B(3) C(3) D(2) E(3) F(2)

5. lépés: Ha megnézzük, már csak 2 ember van, akinek 2 ismerőse van (D, F). Mivel mindenki 3 embert ismer, így kössük össze "D"-t "F"-fel. Így már mindenkinek meglesz a 3 db ismerőse.

A(3) B(3) C(3) D(3) E(3) F(3)

Tehát a megoldólapra is berajzoljuk az ábrát, lehetőleg minél szebben, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2017. tavasz, 3. feladat megoldás

 

 

9. példa: Középszintű matek érettségi, 2016. ősz, 1. feladat

Középszintű matek érettségi, 2016. ősz, 1. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: nézzük meg a kiinduló gráf állapotát és a fokszámokat!

1 0 1 1 1

3. lépés: a jobb alsó sarokban lévő csúcs fokszáma 0. Kössük össze a 2 szomszédos csúccsal!

2 2 2 1 1

4. lépés: Láthatjuk, hogy már csak 2 db csúcs maradt, aminek a fokszáma 1. Ha összekötjük őket, akkor mindkettő fokszáma 2 lesz, amivel kész is lesz a feladat. Kössük is őket össze!

2 2 2 2 2

Tehát a megoldólapra is berajzoljuk az ábrát, lehetőleg minél szebben, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2016. ősz, 1. feladat megoldás

Megjegyzés: Van ennek más megoldása is, de bőven elég ezt tudni.

 

 

10. példa: Középszintű matek érettségi, 2016. tavasz, 5. feladat

Középszintű matek érettségi, 2016. tavasz, 5. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: a feladat azt mondja, ebből a 6 emberből 5-nek tudjuk az ismerőseinek számát: 1, 2, 3, 4, 5. Rajzoljuk be először azt, aki 5 embert ismer. Többféle módon is ki lehet tölteni a rajzot, mi a bal alsó sarokban lévőt nevezzük ki annak, aki 5 embert ismer.

5 1 1 1 1 1

3. lépés: Most azt rajzoljuk be, aki ismer 4 embert. Legyen a jobb alsó sarokban lévő. Ő eddig 1 embert ismer, így kössük össze további 3 emberrel!

5 4 2 2 2 1

4. lépés: Láthatjuk, hogy a fokszámok: 5, 4, 2, 2, 2, 1. Kössünk össze 2 db olyan embert, akinek 2 ismerőse van!

5 4 3 3 2 1

5. lépés: nézzük meg az aktuális helyzetet!

  • A fokszámok ebben a pillanatban: 5, 4, 3, 3, 2, 1.
  • A feladat szempontjából teljesül, hogy megvannak ezek a fokszámok: 5, 4, 3, 2, 1.
  • Ezen kívül van egy 3-as fokszámú elem, így a 6. embernek 3 db ismerőse van a társaságban.

Tehát a megoldólapra is berajzoljuk az ábrát, lehetőleg minél szebben, valamint leírjuk a megfelelő helyre a 3-at is, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2016. tavasz, 5. feladat megoldás

 

 

11. példa: Középszintű matek érettségi, 2015. ősz, 12. feladat

Középszintű matek érettségi, 2015. ősz, 12. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: 7 személy játszik egy asztalitenisz versenyen, mindenki mindenkivel játszik. Rajzoljunk egy üres 7 pontú gráfot!

A Zs G Sz K O F

3. lépés: a feladat azt mondja, Anita mindegyik meccsét lejátszotta. Kössük össze az "A" betűt az összes többivel!

A(6) Zs(1) G(1) Sz(1) K(1) O(1) F(1)

4. lépés: feladat azt mondja, Zsuzsa 2 meccset játszott le, míg Gabi, Szilvi, Kati és Orsi 1-1 meccset játszottak le.

  • Anita: 6 db meccsen van túl.
  • Zsuzsi: 2 db meccsen van túl. Eddig a fokszáma 1, így össze kell kötni valakivel.
  • Gabi: 1 db meccsen van túl és mivel a fokszáma 1, így nem köthetjük vele össze Zsuzsit.
  • Szilvi: 1 db meccsen van túl és mivel a fokszáma 1, így nem köthetjük vele össze Zsuzsit.
  • Kati: 1 db meccsen van túl és mivel a fokszáma 1, így nem köthetjük vele össze Zsuzsit.
  • Orsi: 1 db meccsen van túl és mivel a fokszáma 1, így nem köthetjük vele össze Zsuzsit.
  • Flóra: róla semmit se tudunk, így kizárásos alapon csak vele köthetjük össze Zsuzsit.
A(6) Zs(2) G(1) Sz(1) K(1) O(1) F(2)

5. lépés: a kérdés úgy szól, hogy hány meccset játszott le eddig Flóra. Leolvassuk a fokszámát, ami 2. Tehát a megoldás: 2.

Tehát a megoldólapra is beírjuk a 2-t, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2015. ősz, 12. feladat megoldás

 

 

12. példa: Középszintű matek érettségi, 2015. tavasz, 8. feladat

Középszintű matek érettségi, 2015. tavasz, 8. feladat

Témakör: gráfok

1. lépés: ismételjük át gyorsan a gráfok alapjait!

Térjünk vissza a feladathoz!

2. lépés: Rajzoljunk egy üres 6 pontú gráfot!

3. lépés: a feladat azt mondja, legyenek a fokszámok: 0, 1, 2, 2, 3, 4. Több megoldás is van, mi kiválasztunk egyet. Legyen a bal alsó sarokban lévő csúcs fokszáma 4. Kössük össze 4 db ponttal!

4 1 1 1 1 0

4. lépés: a 4-es fokszámú elem megvan. Legyen a jobb alsó sarokban lévő csúcs fokszáma 3. Kössük össze 2 db olyan ponttal, aminek a fokszáma 1!
FONTOS: kell egy 0-s fokszámú elem. Tehát ami semmivel sincs összekötve, azt véletlenül se kössük össze semmivel sem!

4 3 2 2 1 0

5. lépés: ha megnézzük az ábrát, láthatjuk, hogy a fokszámok stimmelnek, így készen is vagyunk.

Tehát a megoldólapra is berajzoljuk ezt az ábrát, lehetőleg minél szebben, és készen vagyunk.

Középszintű matek érettségi, 2015. tavasz, 8. feladat megoldás

 

 

FONTOS!

Jelenleg nem vagy bejelentkezve, ezért az ingyenes üzemmódot használod, tehát 3 db érettségi témakört nézhetsz meg.

A bejelentkezéshez kattints ide!

Ha rendelkezel aktív előfizetéssel, összesen 39 db rövid válaszos témakörhöz és 18 db levezetett hosszú válaszos feladathoz lesz hozzáférésed és számos ismétlést is megtekinthetsz, továbbá feladatsorokat is megtekinthetsz 2015-2021-ig, például: 2020 májusi érettségi.

A megrendelés indításához nyomd meg valamelyik gombot, attól függően, mennyi időre szeretnéd megrendelni!

Középszintű matek érettségi
Középszintű matek érettségi főoldal
Általános
Felkészítők

2021-2022 csabatanit.hu

barion